Etablissement d'inscription : Université de Paris VI.

Thèse préparée d'octobre 1996 à décembre 1999 à l'Institut AéroTechnique du
Conservatoire National des Arts et Métiers à Saint-Cyr-l'école,
soutenue le 20 Décembre 1999 à  Paris VI.

Résumé de la thèse :

L'objectif de cette thèse est de développer une nouvelle méthode numérique
pour résoudre les équations de Stokes bidimensionnelles sur des maillages
formés de triangles quelconques en s'inspirant de la méthode Marker And Cell
qui nécessite des maillages en quadrangles quasi-réguliers. L'idée proposée
pour cela est de résoudre le problème de Stokes avec pour variables le tourbillon,
la vitesse et la pression.
Alors que les résultats numériques obtenus sur des maillages
réguliers sont satisfaisants, ceux sur des maillages non structurés ne le sont pas.
Il s'est avéré lors de l'étude théorique que ce problème est un problème
de stabilité [6].
Une comparaison est ensuite menée avec la formulation fonction
courant-tourbillon. On montre théoriquement et numériquement que la formulation
tourbillon-vitesse-pression est une généralisation de la formulation fonction
courant-tourbillon permettant la prise en compte de conditions limites plus générales.
On commence alors par proposer une stabilisation numérique des deux formulations par
ajout de fonctions bulles en vitesse qui améliorent considérablement les résultats
numériques.
Ensuite, on montre que l'instabilité, due à des fonctions harmoniques
discrètes, peut être levée en utilisant de véritables fonctions harmoniques. Ce point donne
lieu à une méthode numérique préliminaire utilisant un raffinement homothétique
des maillages [1,2]. On résout ainsi l'instabilité de la formulation fonction courant-tourbillon
et on améliore les précédents résultats de convergence connus de cette formulation.
En particulier, on démontre que le tourbillon converge en moyenne quadratique avec une
erreur d'ordre au moins un par rapport au pas du maillage [1,2].
En dernier lieu, on applique la méthode à la formulation tourbillon-vitesse-pression
et on obtient de cette façon un nouveau mode de calcul de la pression qui s'avère convergent
d'un point de vue expérimental.
 

Pour en savoir encore plus, vous pouvez télécharger ma thèse (postscript compressé).
Enfin, je vous propose en ligne la base de données de maillages (pour commencer) que j'ai utilisée
pour tous mes résultats.

L'après-thèse :
Dans un premier temps, on remplace la méthode numérique préliminaire utilisant un raffinement homothétique
des maillages pour lever l'instabilité, par une méthode beaucoup plus rapide, basée sur la représentation
intégrale des fonctions harmoniques. On démontre alors des résultats de convergence encore meilleurs
à savoir une convergence en moyenne quadratique du tourbillon de l'ordre de 3/2 à 2 dans les cas les plus réguliers [3] [4].

Dans un deuxième temps, on utilise le fait que la formulation tourbillon-vitesse-pression est équivalente
à la formulation fonction courant-tourbillon (démonstration dans [5]) pour redéfinir une nouvelle formulation
tourbillon-vitesse-pression. En effet, il est bien connu que la formulation classique en fonction courant-tourbillon
(n'utilisée qu'en 2D) est mal posée lorsque l'on cherche le tourbillon dans l'espace de Sobolev H^1, mais bien posée
dans un autre espace. On étend alors cet espace au cas 3D et l'on obtient une nouvelle formulation en
tourbillon-vitesse-pression bien posée dans ce nouvel espace [5].

[1] F. Dubois, M. Salaün, S. Salmon, Harmoniques discrètes pour le problème de Stokes,
C.R. Acad. Sci. Paris,
Vol 331-I, 2000, pp 827--832.
[2] F. Dubois, M. Salaün, S. Salmon, Discrete harmonics for stream function-vorticity Stokes problem,(online)
Numerische Mathematik,
Volume 92 (2001), Number 4 pp 711 - 742.
[3] T. Abboud, M. Salaün, S. Salmon, Méthode intégrale pour le problème de Stokes,
C.R. Acad. Sci. Paris,
Vol 334-I, 2002, pp 71--76.
[4] T. Abboud, M. Salaün, S. Salmon, Coupling harmonic functions-finite elements for solving stream function-vorticity Stokes problem. (online)
Numerical Methods for Partial Differential Equations, Volume 20 (2004), Issue 5, pp 765 - 788.
[5] F. Dubois, M. Salaün, S. Salmon, Vorticity-velocity-pressure and stream function-vorticity formulations for the Stokes problem. (online)
Journal de Mathématiques Pures et Appliquées, Volume 82 (2003) pp 1395-1451.
[6] F. Dubois, M. Salaün, S. Salmon, First vorticity-velocity-pressure numerical scheme for the Stokes problem. (online)
Computer methods in applied mechanics and engineering, Volume 192 (2003) pp 4877-4907.

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